TUGAS KULIAH TEORI PELUANG

KOMBINASI DAN PERMUTASI

Soal Halaman 13 s/d 17

6.  Dua juri dipilih dari 4 calon pada suatu perlombaan. Dengan menggunakan lambang C₁C₃,misalnya untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa calon 1 dan 3 terpilih. Tuliskan ke 6 unsur ruang terok T.

Jawab

Misalkan calon juri perlombaan C₁, C₂, C_3,C₄ . 2 Juri terpilih contohnya C₁C₃

Sehingga didapatkan Unsur ruang terok T = { C₁C₂,  C₁C_3, C₁C₄, C₂C₃,  C₃C₃, C₃C₄ }

12. Seorang pengusaha dari Arab Saudi memutuskan menanam sejumlah besar uang dalam real estate. Empat daerah Sumatra Utara, Jawa Barat, Bali, Lombok dipertimbangkan untuk pembuatan hotel, motel dan kondominium semuanya akan terletak di pantai atau daerah peristirahatan dipegunungan. Dengan menggunakan lambang Smg untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa pengusaha memilih Sumatera Utara sebagai tempat untuk mendirikan motel di pegunungan. Buatlah diagram pohon yang menunjukkan ke 24 unsur ruang terok.

Jawab

Misalkan : Sumatera Utara = S                Motel  = M

                 Jawa Barat      = J                   Hotel   = H

                 Bali                  = B                   Kondominium  = K

                 Lombok           = L                   Pegunungan    = G

                                                                 Pantai              = P

Untuk melanjutkan jawabannya silahkan download dibawah ya..................

18. Yang manakah dari pasangan kejadian berikut yang saling terpisah ?

a. Suatu Kesebelasan sepak bola yang kemasukan gol pada menit-menit terakhir dan memenangkan pertandingan

b. Seorang pemain poker yang mendapat kartu semua bewarna sama ( flush ) dan 3 berwarna sama pada 5 kartu yang sama

c. Seorang ibu yang melahirkan seorang bayi perempuan dan sepasang bayi kembar wanita pada hari yang sama

d. Seorang pemain catur kalah pada permainan terakhir tapi memenangkan pertandingan.

Jawab :

Pasangan kejadian yang saling terpisah adalah kejadian nomor a dan d karena kedua aralain kedua kejadian tersebut memiliki kontek yang berbeda satu sama lain.

Soal Halaman 27 s/d 31

6. Tiap mahasiswa baru harus mengambil mata kuliah fisika, kimia, matematika. Bila seorang mahasiswa dapat memilih satu dari 6 kuliah fisika satu

Jawab

SEMUA JAWABANYA ADA JIKA  ANDA LAKUKAN KLIK  DOWNLOAD JAWABAN (MEDIA FIRE)

DOWNLOAD POWER POINT TEORI PELUANG (MEDIA FIRE)

DOWNLOAD JAWABANNYA LEWAT USERCLOUDE 

download power point teori peluang lewat usercloude 

 

TUGAS KULIAH TEORI BILANGAN

FAKTORISASI TUNGGAL

A. Pengertian

Faktorisasi tunggal merupakan pemfaktoran suatu bilangan bulat positif atas faktor-faktor prima adalah tunggal.

B. Pembuktian Teorema

Teorema 4.5

Jika p suatu bilangan prima dan p /ab maka p/a atau p/b

Bukti :

Karena p suatu bilangan prima maka untuk sebarang bilangan bulat a berlaku ( a, p ) = 1 atau (a, p) = p. Jika ( a,p ) = 1 dan p/ab maka p/b. Dan jika (a,p) = p maka p/a. Jadi terbukti bahwa p / a atau p / b.

Teorema ini dapat diperluas untuk bilangan-bilangan a₁, a₂, a₃, ... a_n yaitu :

Jika p suatu bilangan prima dan p / a₁ a₂ a_{3 ...} a_n maka p / a_i untuk suatu i = 1,2,3,...,n

Bukti :

Kita buktikan dengan induksi matematik pada n yaitu banyaknya faktor.

Untuk n = 1 yaitu p / a₁  jelas benar

Untuk n= 2 yaitu p / a₁a₂ karena p suatu bilangan prima maka menurut teorema 4.5   p / a₁ atau p / a₂.

p / a₁ a₂a₃...a_t maka p / a_k untuk 2 < k < t.

Pandang p / a₁ a₂ ... a_n atau bisa ditulis p / ( a₁a₂a₃...a_n-1 )(a_n ) maka menurut teorema 4.5 diperoleh p / a₁a₂....a_n-1 atau p / a_n.

Jika p / a_n maka teorema terbukti.

Jika p / a₁a₂...a_n-2a_n-1 maka menurut teorema 4.5 diperoleh p / a₁a₂....a_n-1a_n-2 atau p / a_n-1

Jika p/a_n-1 maka teorema terbukti.

Jika proses diatas diteruskan berdasarkan hipotesis yang diambil maka proses tersebut mesti berakhir, berarti bilangan prima p membagi salah satu dari a₁a₂a_3....a_n.

Jika p q₁, q₂, q₃ ..... q_n semuanya bilangan prima dan p / q₁q₂q₃....q_n maka

P = q_k untuk suatu k dengan 1  k  n.

Teorema 4.6

Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif  yang lebih besar dari 1 atas faktor faktor prima adalah tunggal kecuali urutan dari faktor-faktornya.

Bukti :

Pada teorema 4.2 telah dibuktikan setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima tertentu. Kita buktikan bahwa faktor prima tersebut tunggal.

Ambil sebarang bilangan bulat positif n >

Jika n bilangan prima maka n adalah faktornya sendiri.

Jika n bilangan komposit dan andaikan pemfaktoran n atas faktor prima adalah tidak tunggal. Misalkan n = p₁p₂.......p_t dan n = q₁q₂ .....q_r

Dengan p_i dan q_j masing masing adalah bilangan prima untuk i = 1,2,3,...t dan j = 1,2,3,...r  

Karena n = p₁p₂ ....p_t maka p₁ / n sehingga p₁ / q₁q₂......q_r menurut perluasan teorema 4.5             p₁ = q_k untuk k dengan 1 k r. Dan mengingat q₁ q₂ q₃........ q_r maka p₁ q₁

Karena n = q₁ q₂ ..... q_r maka q₁ / n sehingga q₁ / p₁ p₂ ..... p_t  menurut perluasan teorema 4.5 q₁ = p_m untuk suatu m dengan 1  m  t dan mengingat p₁ p_{2 ..........}p_t maka q₁ p₁

Karena p₁  q₁ dan q₁  p₁ maka p₁ = q₁ sehingga dari pemisalan diatas didapat p₂p₃....p_t = q₂ q₃....q_r.  Jika diteruskan akan diperoleh p₂ = q₂ sehingga p₃ p₄.....p_t = q₃q_4.....q_r dst..

Apabila t = r proses tersebut akan berakhir pada p_t = q_r  ini artinya teorema terbukti.

Apabila t < r diperoleh 1 = q_t+1q_t+2.....q_r Hal ini mustahil terjadi karena q_t+1q_t+2.....q_r adalah bilangan prima maka haruslah t = r sehingga p₁ = q₁, p₂ = q₂ ......p_t = q_r Ini berarti bahwa bilangan bulat positif n hanya dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor prima secara tunggal.

Teorema 4.7 ( Teorema Euclides )

Banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga

Bukti :

Pada pembuktian teorema ini yang perlu diperhatikan adalah pembentukan bilangan bulat positif N sebagai hasil kali semua bilangan prima ditambah 1. Apakah N tersebut bilangan prima ?

Misalkan

N₁ = 2+1 = 3

N₂ = 2.3 + 1 = 7

N₃ = 2.3.5 + 1 = 31

N₄ = 2.3.5.7 + 1 = 211

Dst...

Akan ditunjukkan N_1, N₂, ......N₄ masing-masing adalah bilangan prima. Tentukanlah N₅ dan N₆ kemudian tunjukkan bilangan ini bukan bilangan prima. Suatu pertanyaan yang jawabannya belum diketahui apakah ada tak berhingga k sedemikian sehingga N_k bilangan prima. Untuk pembuktian lebih lanjut kita lihat teorema 4.8

Teorema 4.8

Dalam suatu barisan bilangan prima, jika p_n menyatakan bilangan prima ke-n maka

P_n  

Bukti :

Untuk membuktikan teorema ini digunakan induksi matematik pada n

Untuk n = 1 diperoleh p₁   yaitu p₁  2. Hal ini benar karena bilangan prima pertama adalah 2. Selanjutnya kita asumsikan benar untuk n = k yaitu p_k    harus dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1 yaitu p_k+1  

Perhatikan bahwa :

P_k+1  ( p₁p₂...p_k) + 1

P_k+1    + 1

P_k+1  (  + 1

Akan ditunjukkan bahwa 1 + 2 + 2² + 2³ +........+2^k-1 = 2^k – 1 yaitu suatu deret geometri dengan rasio 2 diperoleh p_k+1  (

Karena  > 1 untuk setiap bilangan asli k maka ketidaksamaan itu menjadi

P_k+1    +

P_k+1  

Karena teorema benar untuk n= 1 dan benar untuk n = k sehingga telah ditunjukkan benar untuk n = k + 1 maka teorema terbukti untuk setiap bilangan asli n.

Memperhatikan teorema ini maka bilangan prima ke ( n + 1 ) yaitu p_n . Sehingga banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari  tidak kurang dari  ( n + 1 ) buah. Jadi untuk n  1 maka ada paling sedikit n + 1 buah bilangan prima yang lebih kecil dari .

TUGAS TEORI BILANGAN

FAKTORISASI TUNGGAL

Oleh :

KELOMPOK V

1. DENITA DIKARINA, S.Pd

2. YULI FITRIA, S.Pd

3. YANUARDI, S.Pd

4. DARFIENDRI, S.Si

5. DENI FITRI, S.Si

KOSENTRASI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI TEKNOLOGI PENDIDIKAN

FAKULTAS PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2012