TUGAS KULIAH TEORI BILANGAN

FAKTORISASI TUNGGAL

A. Pengertian

Faktorisasi tunggal merupakan pemfaktoran suatu bilangan bulat positif atas faktor-faktor prima adalah tunggal.

B. Pembuktian Teorema

Teorema 4.5

Jika p suatu bilangan prima dan p /ab maka p/a atau p/b

Bukti :

Karena p suatu bilangan prima maka untuk sebarang bilangan bulat a berlaku ( a, p ) = 1 atau (a, p) = p. Jika ( a,p ) = 1 dan p/ab maka p/b. Dan jika (a,p) = p maka p/a. Jadi terbukti bahwa p / a atau p / b.

Teorema ini dapat diperluas untuk bilangan-bilangan a₁, a₂, a₃, ... a_n yaitu :

Jika p suatu bilangan prima dan p / a₁ a₂ a_{3 ...} a_n maka p / a_i untuk suatu i = 1,2,3,...,n

Bukti :

Kita buktikan dengan induksi matematik pada n yaitu banyaknya faktor.

Untuk n = 1 yaitu p / a₁  jelas benar

Untuk n= 2 yaitu p / a₁a₂ karena p suatu bilangan prima maka menurut teorema 4.5   p / a₁ atau p / a₂.

p / a₁ a₂a₃...a_t maka p / a_k untuk 2 < k < t.

Pandang p / a₁ a₂ ... a_n atau bisa ditulis p / ( a₁a₂a₃...a_n-1 )(a_n ) maka menurut teorema 4.5 diperoleh p / a₁a₂....a_n-1 atau p / a_n.

Jika p / a_n maka teorema terbukti.

Jika p / a₁a₂...a_n-2a_n-1 maka menurut teorema 4.5 diperoleh p / a₁a₂....a_n-1a_n-2 atau p / a_n-1

Jika p/a_n-1 maka teorema terbukti.

Jika proses diatas diteruskan berdasarkan hipotesis yang diambil maka proses tersebut mesti berakhir, berarti bilangan prima p membagi salah satu dari a₁a₂a_3....a_n.

Jika p q₁, q₂, q₃ ..... q_n semuanya bilangan prima dan p / q₁q₂q₃....q_n maka

P = q_k untuk suatu k dengan 1  k  n.

Teorema 4.6

Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif  yang lebih besar dari 1 atas faktor faktor prima adalah tunggal kecuali urutan dari faktor-faktornya.

Bukti :

Pada teorema 4.2 telah dibuktikan setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima tertentu. Kita buktikan bahwa faktor prima tersebut tunggal.

Ambil sebarang bilangan bulat positif n >

Jika n bilangan prima maka n adalah faktornya sendiri.

Jika n bilangan komposit dan andaikan pemfaktoran n atas faktor prima adalah tidak tunggal. Misalkan n = p₁p₂.......p_t dan n = q₁q₂ .....q_r

Dengan p_i dan q_j masing masing adalah bilangan prima untuk i = 1,2,3,...t dan j = 1,2,3,...r  

Karena n = p₁p₂ ....p_t maka p₁ / n sehingga p₁ / q₁q₂......q_r menurut perluasan teorema 4.5             p₁ = q_k untuk k dengan 1 k r. Dan mengingat q₁ q₂ q₃........ q_r maka p₁ q₁

Karena n = q₁ q₂ ..... q_r maka q₁ / n sehingga q₁ / p₁ p₂ ..... p_t  menurut perluasan teorema 4.5 q₁ = p_m untuk suatu m dengan 1  m  t dan mengingat p₁ p_{2 ..........}p_t maka q₁ p₁

Karena p₁  q₁ dan q₁  p₁ maka p₁ = q₁ sehingga dari pemisalan diatas didapat p₂p₃....p_t = q₂ q₃....q_r.  Jika diteruskan akan diperoleh p₂ = q₂ sehingga p₃ p₄.....p_t = q₃q_4.....q_r dst..

Apabila t = r proses tersebut akan berakhir pada p_t = q_r  ini artinya teorema terbukti.

Apabila t < r diperoleh 1 = q_t+1q_t+2.....q_r Hal ini mustahil terjadi karena q_t+1q_t+2.....q_r adalah bilangan prima maka haruslah t = r sehingga p₁ = q₁, p₂ = q₂ ......p_t = q_r Ini berarti bahwa bilangan bulat positif n hanya dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor prima secara tunggal.

Teorema 4.7 ( Teorema Euclides )

Banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga

Bukti :

Pada pembuktian teorema ini yang perlu diperhatikan adalah pembentukan bilangan bulat positif N sebagai hasil kali semua bilangan prima ditambah 1. Apakah N tersebut bilangan prima ?

Misalkan

N₁ = 2+1 = 3

N₂ = 2.3 + 1 = 7

N₃ = 2.3.5 + 1 = 31

N₄ = 2.3.5.7 + 1 = 211

Dst...

Akan ditunjukkan N_1, N₂, ......N₄ masing-masing adalah bilangan prima. Tentukanlah N₅ dan N₆ kemudian tunjukkan bilangan ini bukan bilangan prima. Suatu pertanyaan yang jawabannya belum diketahui apakah ada tak berhingga k sedemikian sehingga N_k bilangan prima. Untuk pembuktian lebih lanjut kita lihat teorema 4.8

Teorema 4.8

Dalam suatu barisan bilangan prima, jika p_n menyatakan bilangan prima ke-n maka

P_n  

Bukti :

Untuk membuktikan teorema ini digunakan induksi matematik pada n

Untuk n = 1 diperoleh p₁   yaitu p₁  2. Hal ini benar karena bilangan prima pertama adalah 2. Selanjutnya kita asumsikan benar untuk n = k yaitu p_k    harus dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1 yaitu p_k+1  

Perhatikan bahwa :

P_k+1  ( p₁p₂...p_k) + 1

P_k+1    + 1

P_k+1  (  + 1

Akan ditunjukkan bahwa 1 + 2 + 2² + 2³ +........+2^k-1 = 2^k – 1 yaitu suatu deret geometri dengan rasio 2 diperoleh p_k+1  (

Karena  > 1 untuk setiap bilangan asli k maka ketidaksamaan itu menjadi

P_k+1    +

P_k+1  

Karena teorema benar untuk n= 1 dan benar untuk n = k sehingga telah ditunjukkan benar untuk n = k + 1 maka teorema terbukti untuk setiap bilangan asli n.

Memperhatikan teorema ini maka bilangan prima ke ( n + 1 ) yaitu p_n . Sehingga banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari  tidak kurang dari  ( n + 1 ) buah. Jadi untuk n  1 maka ada paling sedikit n + 1 buah bilangan prima yang lebih kecil dari .

TUGAS TEORI BILANGAN

FAKTORISASI TUNGGAL

Oleh :

KELOMPOK V

1. DENITA DIKARINA, S.Pd

2. YULI FITRIA, S.Pd

3. YANUARDI, S.Pd

4. DARFIENDRI, S.Si

5. DENI FITRI, S.Si

KOSENTRASI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI TEKNOLOGI PENDIDIKAN

FAKULTAS PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2012