BAHAN AJAR ALJABAR

B. Materi Pembelajaran

1. Aljabar: Aljabar adalah cabang dari matematika yang mempelajari penyederhanaan dan

pemecahan masalah dengan menggunakan “simbol”.

2. Simbol atau Lambang Aljabar:

Simbol adalah huruf atau tanda yang digunakan untuk menyatakan unsur, senyawa, sifat, atau

satuan matematika (KBBI). Simbol bilangan disebut angka. Angka 5 merupakan simbol untuk

menyatakan hasil dari mencacah benda sebanyak 5 buah atau hasil menghitung frekuensi

kemunculan suatu peristiwa sebanyak 5 kali.

Simbol Aljabar adalah simbol yang mewakili (menunjuk) sebarang bilangan. Simbol Aljabar dapat

terdiri dari huruf, tanda tertentu, atau bilangan. Pada sebarang simbol Aljabar dapat diberikan nilai

(bilangan) tertentu sesuai persyaratan yang dikehendaki.

Contoh-1:

”Banyaknya pohon jati milik Pak Amir 10 batang kurangnya dari pohon milik Pak Budi. Berapakah

kemungkinan pohon Pak Amir dan Pak Budi?”. Pembahasan:

a. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, dimisalkan banyak pohon Pak Amir diwakilkan kepada

simbol Aljabar p, sehingga p ini adalah banyak pohon milik Pak Amir. Dengan demikian berarti

banyak pohon Pak Budi p + 10 batang.

b. Karena tidak ada petunjuk berapa banyak pohon Pak Amir atau Pak Budi, maka p dapat diganti

dengan sebarang bilangan yang menunjukkan banyak pohon. Boleh jadi p mewakili bilangan 10,

sehingga banyak pohon Pak Amir ada 10 batang dan pohon Pak Budi ada 10+10 atau 20 batang.

Boleh jadi p mewakili 15, sehingga banyak pohon Pak Amir ada 15 batang dan pohon Pak Budi

ada 15+10 atau 25 batang.

c. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili oleh p, dengan syarat p dan p+10 mewakili

bilangan banyak pohon yang mungkin dimiliki oleh seseorang. Dalam hal ini tidak mungkin

seseorang sampai memiliki satu triliun pohon.

d. Kesimpulan: p dapat mewakili bilangan tertentu dengan persyaratan bahwa p dan p+10 adalah

banyak pohon yang memungkinkan untuk dimiliki oleh Pak Amir dan Pak Budi. Semesta

pembicaraan adalah banyak pohon yang memungkinkan dimiliki oleh Pak Amir dan Pak Budi.

Contoh-2:

”Tahun ini umur Dika dua kali umur Syauki, sedangkan umur Santi 1 tahun lebih tua dari Dika.

Berapakah kemungkinan umur Dika, Syauki, dan Santi tahun ini?”. Pembahasan:

a. Umur seseorang dalam tahun menunjukkan hasil mencacah satu kali dalam setahun secara

berurutan sejak lahir sampai tahun terakhir kehidupan orang tersebut. Dengan demikian umur

menunjukkan bilangan.

b. Untuk menjawab pertanyaan tersebut maka umur Syauki tahun ini dapat diwakilkan kepada

simbol Aljabar U, sehingga U ini mewakili bilangan umur Syauki. Ini berarti tahun ini umur Syauki

U tahun, umur Dika 2×U atau 2U tahun, sedangkan umur Santi (2U+1) tahun.

c. Karena tidak ada petunjuk berapa umur Syauki, Dika dan Santi pada tahun ini maka U dapat

diganti dengan sebarang bilangan yang menunjukkan umur manusia. Boleh jadi U mewakili

bilangan 1, sehingga tahun ini umur Syauki 1 tahun, umur Dika 2×1 atau 2 tahun, dan umur Santi

2+1 atau 3 tahun. Boleh jadi U mewakili 5, sehingga tahun ini umur Syauki 5 tahun, umur Dika 2×5

atau 10 tahun dan umur Santi 10+1atau 11 tahun. Masih banyak bilangan lain yang dapat diwakili

oleh U, dengan syarat U mewakili bilangan umur manusia dan mengakibatkan U, 2U dan 2U + 1

juga mewakili bilangan umur manusia.

d. Kesimpulan: U dapat mewakili sebarang bilangan dengan persyaratan bahwa U, 2U, 2U+1 adalah

bilangan umur manusia yang memungkinkan saat ini Semesta pembicaraan kejadian tesebut

adalah bilangan umur manusia yang memungkinkan saat ini.

Contoh-3:

Toko buah KURNIA milik Pak Arif mengemas apel dalam kotak-kotak. Setiap kotak berisi beberapa biji

apel yang sama banyak. Beberapa kotak apel dikemas dalam satu dos besar. Berapa banyak butir apel

yang mungkin dalam satu kotak ? Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam satu dos besar?

Berapa banyak butir apel yang mungkin dalam dua dos besar? .

Pembahasan:

1. Misalkan banyak apel dalam satu kotak ada a apel, maka dalam dua kotak ada a + a atau 2a apel,

dalam 3 kotak ada a+a+a atau 3a apel. Jika satu kotak berisi 10 apel, dua kotak berisi 20 apel, dan

3 kotak berisi 30 apel. Ini berarti a mewakili 10 apel.

2. Bila ada a2 apel, berarti ada a kotak apel yang masing-masing kotak berisi a apel. Alasan: a2 berarti

a×a atau (a+a+a+a+...+a) sebanyak a. Jika tiap satu kotak berisi 10 apel, berarti ada 10 kotak apel,

sehingga banyaknya apel dalam a2 apel ada 10×10 apel atau ada 100 apel.

3. Misalkan satu dos besar dapat memuat n kotak apel, berarti n mewakili banyak kotak apel dalam

dos besar. Jika ada 2 dos besar berarti dalam 2 dos besar tersebut ada 2×n kotak apel.

4. Karena dalam satu kotak apel ada a butir apel, dan dalam satu dos besar ada n kotak apel, maka

dalam satu dos besar ada n×a butir apel dan dalam 2 dos besar ada 2×n×a.

Kesepakatan:

a. Tanda operasi kali tidak ditulis. Contoh: 3×d atau 3.d dan ditulis 3d , A + A = 2. A = 2A

b. Simbol Aljabar yang berdekatan diartikan sebagai perkalian. Contoh: pq berarti p×q atau berarti

p.q

c. p2 berarti p×p atau berarti p.p, dan dapat ditulis pp, dengan p adalah simbol Aljabar.

d. p2p4 berarti p2×p4 atau berarti p2.p4, atau berarti (p.p).(p.p.p.p) atau berarti (p×p)×(p×p×p×p), dan

dapat ditulis (pp)(pppp)dengan p adalah simbol Aljabar.

e. Istilah-istilah yang tergolong simbol Aljabar antara lain adalah variabel (peubah), konstanta,

suku, koefisien, dan bentuk Aljabar. Dalam matematika, istilah-istilah tersebut selanjutnya

disebut variabel (peubah), kontanta, bentuk Aljabar, suku, koefisien.

3. Variabel (Peubah)

Variabel (peubah) adalah simbol Aljabar atau gabungan simbol Aljabar yang mewakili sebarang

bilangan dalam semestanya.

a. Simbol Aljabar p pada contoh-1, U pada contoh-2, dan a pada contoh-3 di atas adalah contoh

variabel karena p mewakili banyak pohon yang mungkin dimiliki Pak Amir, U mewakili sebarang

bilangan umur manusia dan a mewakili banyak butir apel dalam satu kotak.

b. Variabel (peubah) umumnya disimbolkan dengan huruf kecil atau huruf besar.

4. Konstanta Aljabar:

Konstanta adalah sebuah simbol atau gabungan simbol yang mewakili atau menunjuk anggota

tertentu pada suatu semesta pembicaraan.

a. Dalam contoh-1 uraian di atas, p adalah variabel dengan p mewakili bilangan yang menunjukkan

banyak pohon Pak Amir. p+10 adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan

banyak pohon milik Pak Budi. Dalam hal ini 10 disebut konstanta karena 10 tersebut menunjuk

banyak pohon tertentu, yaitu 10 pohon.

b. Dalam contoh-2 uraian di atas, U adalah variabel dengan U mewakili bilangan yang menunjukkan

umur Syauki. 2U adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan umur Dika.

2U+1 adalah simbol aljabar untuk mewakili bilangan yang menunjukkan umur Santi. Dalam hal

ini 1 disebut konstanta karena 1 tersebut menunjuk umur tertentu, yaitu 1 tahun.

c. Catatan: Bila dijumpai konstanta negatif, misalnya dalam bentuk x - 100, dengan konstanta -100,

maka konstanta negatif tersebut tidak perlu dikongkretkan. Dalam proses pembelajaran,

konstanta negatif tersebut sudah menjadi ranah pembahasan matematika vertikal yaitu

pembahasan tentang konsep matematika secara abstrak.

5. Suku Aljabar:

a. Suku dapat berupa sebuah konstanta atau sebuah variabel. Suku dapat pula berupa hasil kali atau

hasil pangkat atau hasil pernarikan akar konstanta atau variabel, tetapi bukan penjumlahan dari

konstanta atau variabel.

b. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang variabelnya menggunakan simbol yang sama, baik

dalam huruf maupun pangkatnya. Bila a dan b adalah variabel, maka a, 2a, 10a adalah suku-suku

sejenis, a dan 2b suku-suku tidak sejenis.

c. Pada contoh-1 uraian di atas, p dan 10 masing-masing disebut suku. Pada contoh-2 di atas U, 2U,

1 disebut suku, dengan U dan 2U disebut suku sejenis. Pada contoh-3 di atas, a, 2a, 3a, an, 2an

disebut suku. a, 2a, 3a adalah suku-suku sejenis. an dan 2an juga suku-suku sejenis.

6. Koefisien aljabar:

Koefisien adalah bagian konstanta dari suku-suku yang memuat atau menyatakan banyaknya

variabel yang bersangkutan. Pada contoh-1 uraian di atas, koefisien dari p adalah 1 (satu). Pada

contoh-2, koefisien dari U adalah 1, koefisien dari 2U adalah 2 dan koefisien 3U adalah 3. Pada

contoh-3, koefisien dari 3 adalah 3.

7. Bentuk Aljabar:

a. Bentuk aljabar adalah semua huruf dan angka atau gabungannya yang merupakan simbol aljabar.

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan atau penarikan akar dari satu

atau lebih simbol aljabar juga merupakan bentuk aljabar.

b. Bentuk Aljabar dalam x berarti bentuk Aljabar dengan variabel x, sehingga simbol lainnya (huruf

atau angka) bukan merupakan variabel. Contoh:

1) 3x +5 adalah bentuk aljabar dalam x.

2) 5 − y adalah bentuk aljabar dalam y.

3) ax +bx +c adalah bentuk Aljabar dalam x, dengan a, b, c bukan variabel, tetapi konstanta. Dalam

hal ini konstanta a dan b disebut koefisien, sedang c disebut konstanta.

4) p2 adalah bentuk aljabar dalam p.

c. Pada contoh-1 uraian di atas, p dan p+10 masing-masing merupakan bentuk aljabar. Pada contoh-

2 di atas, U, 2U, dan 2U+1 masing-masing merupakan bentuk aljabar. Pada contoh-3, a, 2a, 3a

juga merupakan bentuk aljabar.

d. Bentuk Aljabar terdiri satu suku disebut suku satu. Contoh: 3y, x2, - 4x. Bentuk Aljabar terdiri dua

suku disebut suku dua (binom). Contoh: x2− 4, 5y+6.

Daftar Bacaan

Krismanto.Al. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Di Kelas VII SMP. Modul Matematika SMP

Program BERMUTU. Yogyakarta: PPPPTK Matematika.

Sri Wardhani.2004. Permasalahan Kontekstual Mengenalkan Bentuk Aljabar di SMP. Paket Pembinaan

Penataran Bagi Alumni Diklat Guru Matematika SMP oleh PPPPG Matematika Tahun 2004.

Yogyakarta: PPPPG Matematika